N° 177, automne 2021

Farideh Firoozbakht, l’étoile de la Maison des mathématiques d’Ispahan


Shahâb Vahdati


Luc Trouche, mathématicien français et professeur émérite en didactique, a récemment exprimé son appréciation pour la Maison des mathématiques d’Ispahan, active même pendant la pandémie de coronavirus. Il s’est adressé en ces termes aux enseignants iraniens en mathématiques : « Vous avez une très grande chance d’avoir des institutions pareilles. » Dans une vidéo, il a manifesté sa joie de voir de telles institutions facilitant les échanges de savoirs en mathématiques entre les enseignants. Il a proposé un problème, créant ainsi un espace de dialogue entre les enseignants français et iraniens. Lors d’un voyage en Iran il y a quatre ans, il avait évoqué lors d’une conférence les défis auxquels les enseignants en mathématiques faisaient face en ce moment. Selon lui, nombreux professeurs de mathématiques utilisent, aujourd’hui, partout dans le monde, des logiciels permettant d’enseigner en ligne. Néanmoins, il n’est pas facile pour les étudiants de travailler avec cette méthode. Selon lui, quatre conditions sont nécessaires pour que cet instrument d’enseignement soit efficace :

1-L’accès aux sources et aux supports d’enseignement. Les matériels scolaires ne sont plus suffisants et il faut inventer de nouveaux supports, plus créatifs pour animer les interactions à distance.

2-Effacer les inégalités qui existent entre les étudiants, compte tenu des conditions économiques de leur famille, pour faciliter l’accès de tous aux technologies numériques.

3-La nécessité de l’entraide entre enseignants. L’éducation est une activité collective et les enseignants isolés à leur domicile peuvent plus difficilement partager leurs expériences.

La courbe noire énonce l’écart maximal entre les nombres premiers.

4-La coopération au niveau international menacée par certains facteurs politiques. Les enseignants de tous les pays doivent pouvoir librement partager entre eux leur expérience didactique.

Créée en 2008, la Maison des mathématiques d’Ispahan publie des vidéos sur l’Origami ou propose des problèmes de mathématiques adressés au grand public. Cet institut organise également des tournois au niveau national et international. Il existe par exemple une Olympiade de mathématiques, supervisée par un comité central situé à Moscou, à laquelle des équipes d’étudiants des villes iraniennes peuvent participer. Il y a aussi un tournoi pour les langages de programmation Scratch à l’adresse des enfants de 8 à 16 ans, lié à l’enseignement de mathématiques.

La Maison des mathématiques d’Ispahan a inspiré la fondation de 35 instituts similaires à travers le pays. Il existe aussi des maisons des mathématiques dans d’autres pays, notamment la MMI de Lyon en France (Maison des mathématiques et de l’informatique), qui organise des activités gratuites accessibles au grand public, ou encore la MDM en Belgique, qui a reçu le premier prix de la Fondation Reine Paola. L’Iran n’est donc pas le premier pays à avoir créé une maison des mathématiques. La fondation de cet institut belge prend sa source dans une coopération avec l’Allemagne et son exposition des mathématiques nommée Mathematikum est visitée annuellement par 150 000 personnes. Cette coopération a attiré l’intérêt de l’Association Fermat-Science et le célèbre médaillé Fields Cédric Villani, convaincu que les mathématiques peuvent attirer le grand public si elles sont rendues plus facilement accessibles. La Maison des mathématiques d’Ispahan est également en contact avec le New York Mathematics Museum.

L’un des mérites d’une maison des mathématiques réside dans le fait qu’elle offre la possibilité au grand public de connaître les mathématiciens professionnels, voire des célébrités de la discipline. Nous avons cité le cas de Cédric Villani en France. La Maison des mathématiques d’Ispahan a été, dès sa fondation et quoique pour une courte durée, le lieu de rencontre avec une grande mathématicienne d’Ispahan qui a acquis une renommée mondiale.

Madame Farideh Firoozbakht vécut entre 1962 et 2019 à Ispahan. Elle disait en plaisantant : « Je suis née en 987+654+321 » (la somme égale à 1962), qui comprend tous les nombres de 1 à 9 !

Elle a commencé à étudier la pharmacologie à l’université d’Ispahan, mais dès la seconde année, elle se réorienta vers l’étude des mathématiques, intéressée notamment par la théorie des nombres. Elle acheva ses études en 1987 et à partir de 1992, elle enseigna les mathématiques à l’université San’ati d’Ispahan. En 1982, Mme Firoozbakht proposa une hypothèse sur la suite des nombres premiers, nommée ensuite la Conjecture de Firoozbakht. Le mathématicien russe Alexei Kourbatov a vérifié cette hypothèse jusqu’à 4 quintillions (4×1018). La conjecture de Firoozbakht débat la notion d’écarts maximaux entre les nombres premiers. Un nombre premier est un entier naturel qui n’admet que 1 et lui-même pour diviseur distinct entier. L’une des questions fondamentales les concernant est l’écart entre deux nombres premiers consécutifs. La borne supérieure établie pour les écarts maximaux entre nombres premiers devient en fait la limite supremum. La limite supremum est cruciale pour comprendre la répartition des nombres premiers. Il s’avérera être un élément clé dans la vérification de nombreux théorèmes mathématiques, aidant à supplanter les heuristiques souvent mises en œuvre. La première implémentation de la borne Supremum est de vérifier la véracité de la conjecture faite par Farideh Firoozbakht ainsi que les deux limites des écarts entre nombres premiers impliqués par sa conjecture.

En 24 février 2021, le mathématicien Jan Riemann a affirmé avoir prouvé la conjecture dans un article nommé La limite supremum des écarts maximaux entre nombres premiers et l’hypothèse n° 30 de Firoozbakht qu’il dédie à « Une collègue mathématicienne, la regrettée Farideh Firoozbakht ». Il écrit : « Le problème de la limite supérieure des écarts maximaux entre nombres premiers est l’un des problèmes mathématiques majeurs à ce jour. Son objectif principal est de développer une norme qui aidera la compréhension de la répartition des premiers. Elle est apte à présenter des résultats théoriques sur le sujet des écarts maximaux entre nombres premiers. Elle présente la limite supérieure la plus nette pour les écarts maximaux primordiaux jamais développés. Le résultat devient la limite supremum sur les écarts maximaux entre nombres premiers et culmine ensuite avec la preuve concluante de l’hypothèse n° 30 de Firoozbakht. L’hypothèse de Firoozbakht implique une conjecture assez audacieuse concernant les écarts maximaux entre nombres premiers. En fait, il impose l’une des limites d’écarts maximaux les plus fortes jamais conjecturées. Sa vérité implique la vérité d’un plus grand nombre de conjectures connues sur les écarts entre nombres premiers. Simultanément, l’hypothèse de Firoozbakht réfute un argument heuristique connu de Granville et Maier. »

Cette conjecture énonce que la suite (Pn)1/n (où Pn est le nième nombre premier) est strictement décroissante. Autrement dit, un nombre premier en puissance de l’inverse de son indice est toujours moins grand que le nombre premier suivant en puissance de l’inverse de son indice (qui est l’indice précédent plus un). Une hypothèse étrange et mystérieuse comme la Conjecture de Goldbach. 

Dans La Symphonie des Premiers, la répartition des premiers et l’hypothèse de Riemann, Jan Feliksiak écrit une petite histoire sur les œuvres qui précèdent celle de Firoozbakht : « En 1936, le mathématicien suédois Harald Cramer a essayé de formuler la limite supérieure sur l’écart entre nombres premiers, en appliquant un argument heuristique sophistiqué fondé sur la probabilité. La taille maximale de cet écart a une très bonne approximation avec la répartition des premiers. »

Ayant les mêmes caractéristiques que la conjecture de Cramer, celle de Firoozbakht a peu de chance d’être bientôt prouvée. Selon Luis Rodriguez, la preuve de l’inégalité asymptotique de Russo pourrait permettre de prouver la conjecture de Firoozbalkht. En mars 2017, le mathématicien Jahangir Kholdi a publié en vue de tenter de prouver la conjecture de Firoozbakht à travers l’inégalité de Rosser et Schoenfelds sur la répartition des nombres premiers. Visiblement, les écarts maximaux du modèle de Firoozbakht sont plus étroits que celui de Cramer. L’image ci-dessus présente la fonction extraite de sa conjecture, modélisant l’écart maximal entre nombres premiers.

La Professeure Firoozbakht était membre de la Faculté des mathématiques à l’université San’ati d’Ispahan. Elle était également enseignante à la Maison des mathématiques d’Ispahan. Par sa vision puissante sur les calculs, elle se distinguait des autres mathématiciens. À partir des motifs les plus simples, elle concevait les problèmes les plus complexes. Mehdi Meïsami, un collègue de Mme Firoozabadi, partage ses souvenirs d’une collaboration avec elle en ces termes : « J’avais une idée sur la théorie des nombres. J’ai communiqué mon idée à madame Firoozbakht. Elle a consacré plusieurs heures à l’étudier, comme si c’était son propre problème. Elle chercha à le vérifier à plusieurs reprises sur le logiciel Wofram Mathematica, tout en faisant des calculs de tête ou en les posant sur le papier. Tout en travaillant sur ces nombreux calculs, elle m’a appris toute une méthode pour traiter un problème. Elle a aussi partagé avec moi plusieurs de ses souvenirs. L’un d’entre eux était lié aux années où elle avait trouvé sa fameuse conjecture. Elle m’a dit qu’au début des années 1980, l’université d’Ispahan n’avait qu’un seul ordinateur capable de vérifier sa conjecture. Nombreuses étaient les difficultés qu’elle devait surmonter, écrivant sur de vieux langages de programmation et demandant à l’université plus de temps pour travailler avec le seul ordinateur accessible afin de vérifier son hypothèse. »

La différence entre elle et les autres professeurs de mathématiques était que ses ambitions dépassaient toujours les limites universitaires. Elle était une mathématicienne au sens classique du terme comme Fermat, Galois, Ramanujan, etc. 

Comme nous l’avons évoqué, elle abandonna la pharmacologie dès qu’elle découvrit les mathématiques auxquelles elle a consacré sa vie. Étudiant la théorie des nombres, elle bénéficia des enseignements de professeurs comme Ali Rajâlî, Jafar Zaferânî et Rezâ Enshâï. Ses travaux ont été mentionnés dans les publications des mathématiciens de renommée mondiale tels que Paulo Ribenboim, Andrew Granville, Janos Pintz et Leonard Adleman. Elle est l’honneur de la société scientifique iranienne. Elle avait des contacts abondants avec les mathématiciens d’autres pays où elle est plus connue qu’en Iran. En plus, elle était connectée au site web primepuzzles.net, pour lequel elle proposait des problèmes ou résolvait ceux des autres, proposés sur le site chaque semaine. Elle s’engageait activement à travailler sur les problèmes hebdomadaires de ce site internet et de leur envoyer ses points de vue. Plusieurs problèmes portent son nom en théorie des nombres, une branche des mathématiques à laquelle madame Firoozbakht s’attachait beaucoup. Les premiers étaient pour elle comme ses enfants d’un nombre infini avec lesquels elle ne cessait de jouer. Ali Rajâlî était l’un des professeurs de madame Firoozbakht. Il a récemment rappelé que la science devait être accessible à tout le monde. Mais pour cela, le gouvernement doit créer les infrastructures nécessaires. Il croit essentiel de créer une coopération entre les enseignants des mathématiques et les professeurs d’université. Selon lui, la création des tournois en 1983 entre les écoliers et les lycéens a produit des résultats considérables, et a notamment permis de révéler Maryam Mirzakhani (1977-2017), première mathématicienne médaillée Fields dans le monde.

Bibliographie :

 

- Keramati, Yunes, Dar Ghalamrov-e riaziat, Ahl-e Ghalam, Téhéran 1382.

- Andrew Granville, Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 1995.Vol 1.

- Alexei Kourbatov, Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht’s conjecture, J. Integer Sequences, Article 15.11.2, vol. 18,‎ 2015

 

Site web :

https://www.primepuzzles.net

http://isf.mathhouse.org/

 


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